sinx/x的极限x趋近于0，结果等于1。这是第一个重要极限，你可能每天都在用，因为它在高等数学中的应用非常广泛，用得特别多，但你对它的了解有多少？真正了解它了吗？
这个极限用极限的定义非常麻烦。所以一般都是用夹逼定理，又称为极限的迫敛性来证明的。
当x在0到二分之π之间时，有重要的不等式sinx<x<tanx，因此在这个区间上，不等式的三个式子同时除以sinx，得到1<x/sinx<1/cosx. 同时取倒数可以得到cosx<sinx/x<1。
又cos(-x)=cosx, sin(-x)/(-x)=sinx/x，即由偶函数的性质，可以知道当x在负二分之π到0之间时，依然有cosx<sinx/x<1。从而，当x在U0(0,π/2)的空心邻域上时，cosx<sinx/x<1。而cosx在x趋于0时的极限为1，1的极限自然也为1了。由极限的迫敛性，就有sinx/x在x趋近于0的极限也等于1.
而当我们学到无穷小以及等阶无穷小的知道时，我们可以由sinx与x是同阶无穷小，直接得到sinx/x在x趋于0时，它的极限等于1的结论。不过你也可以说，我们是由这个极限等于1推出sinx与x是等阶无穷小的，所以不能使来反推。
其实并不是这样的，因为sinx和x在x=0的导数都等于1，所以它们是等阶。这又牵连出另一个重要的求极限方法 ，就是关于导数的洛必达法则。对于0比0型的极限，我们可以对分子分母同时求导，以求得极限的值。
最后是在这个极限的应用上，我们见得最多的就是换元法的应用。比如求sin2x/(2x)在x趋于0时的极限。只需令t=2x，则有当x趋于0时，t也趋于0，因此sin2x/(2x)=sint/t在t趋于0时，它的极限也等于1. 再变化一下，求sin2x/x在x趋于0时的极限，那么可以把函数化为2sin2x/(2x)，就有原极限等于2x。
另外，sinx/x和x/sinx在x趋于0时，它们的极限是相等的，但不能说他们是同一个极限。因为，当x趋于无穷时，前者等于0，后者的极限并不存在。